移動の自由の制限はなし。ただし一部を除いては。

債務整理中といっても、手続き中の場合もあれば、弁済期間中もあります。

債務整理は弁済が完了した時点で終わりと言えるので、それまでは引っ越しや転勤もできないと思われがちですが、そうではありません。

移動の自由は憲法で保障されているもの、それを法律が超えることはないといえるのですね。
だから、行楽や外食などの外出も何ら制限を受けることはありませんし、転勤も自由です。

事実、私自身、債務整理期間中、二度、住所を変えましたが、問題はありませんでした。
転居届けを出しておけば、書類が送付された場合も受け取ることができますし、住所の変更を債権者に出しておけば何ら問題もなく、連絡を入れてくることもありません。

居所が不明になることは避けなければなりませんが、債務整理中に何か書類が届くことはまずないのですね。
滞納などの特別な事情を除いては。

任意整理には移動制限はないのですが、自己破産の手続きで免責が下りるまでは移動の自由(居住地の変更など)や資格制限がつきます。
(資格制限=士業や保険募集人など一部の職種にかかる制限です。
これも免責が下りるまでの制限ですので、一定期間です)

新居の契約も一部を除き問題なし。

家賃の契約に関することも、信用情報機関に載るのでは?

まず、そのようなことはありません。

保証会社に信販会社が関わっている場合は信用情報機関に登録されることがあり、
入居審査に落ちることもあります。
私自身も経験しました。

しかし、それ以外の賃貸契約であれば敷金を割り増しされることもなく通常通りに契約が可能ですが、管理会社がどのような審査を行っているのか確認しておくと良いでしょう。

また誤解されやすいのが、信用情報機関が何でも登録され、信用調査に関わっていることですね。
賃貸契約とカードローンなどの金銭消費貸借契約とは別です。
これはCICでも明記されています。

債務整理のことを仲介会社に話すこともありませんが(関係もありません)、どのような保証会社や管理会社が関わっているかは確認しておきましょう。

旅行も、転勤も、転居も、債務整理中は自由。
手続き中(和解が成立するまで)はさすがに移動は避けた方が良いのですが、先の自己破産ように一部を除いてはまったく影響はありません。